UBICACION RELATIVA EN UN PLANO GEOMETRICO DEL PI ACTUAL CON RESPECTO AL PI GEOMETRICO EGIPCIO

1)PENTAGONO ROJO INSCRITO A LA CIRCUNFERENCIA A

ALTURA=0.3275630740619488
LADO=0.5150283239582122
PERIMETRO=2.575141619791061

CIRCUNFERENCIA A:
RADIO=5/12=0.4166666666666
LONGITUD=2.61803398875=PHIE2=5 CODOS=5 ARCOS

2)HEXAGONO VERDE INSCRITO A LA CIRCUNFERENCIA B EN NEGRO

ALTURA=0.43301270189
LADO=0.500000000000
PERIMETRO=3.00000000000

TRIANGULO RECTANGULO
LADO E2=(0.5)E2 /4 =0.0625
HIPOTENUSA E2=(0.5)E2 =0.25
ALTURA= RAIZ2 DE HIPOTENUSA E2 - LADO E2
                =0.43301270189

CIRCUNFERENCIA B:
RADIO=1/2=0.50000000000000
LONGITUD=3.1416407865=PI=(6/5)PHIE2=6 CODOS=6 ARCOS

3)HEXAGONO NARANJA

ALTURA=0.45388470957
LADO=(2/3)(0.786151377776)=0.5241009185066667
PERIMETRO=3.14460551104          MAYOR QUE PI

TRIANGULO RECTANGULO
LADO E2=0.5241009185066667 E2 /4 =0.06867044319
HIPOTENUSA E2=0.5241009185066667 E2 =0.27468177278
ALTURA=RAIZ2 DE HIPOTENUSA E2 - LADO E2=0.45388470957

4)CUADRADO NARANJA

LADO=0.78615137776
PERIMETRO=3.14460551104         MAYOR QUE PI

5)HEXAGONO IRREGULAR ROJO

LADO=0.78615137776
PERIMETRO=4.71690826666

6)HEXAGONO AZUL

ALTURA=0.45345667492
LADO=0.52360666666668
PERIMETRO=3.14164000000008

TRIANGULO RECTANGULO
LADO E2=0.52360666666668 E2 /4 =0.06854098534
HIPOTENUSA E2=0.52360666666668 E2 =0.27416394137
ALTURA= RAIZ2 DE HIPOTENUSA E2 - LADO E2 =0.45345667492

7)CUADRO COMPARITIVO DE PERIMETROS LADOS ALTURAS RADIOS

PERIMETROS:   HEX.NARAN   .>    CIRCUNF.B   >     HEX.AZUL    >   CIRCUNF.ROSADA
                            3.14460551104        3.1416407865    3.14164000000008    3.1415926536
                                                             PI  EGIPCIO                                         PI ACTUAL
RADIOS:                                             0.5000000000                                       0.49999233952
ALTURAS:         0.45388470957                                   0.45345667492
LADOS:         0.5241009185066667                              0.52360666666668

CALCULO CIRCUNFERENCIA ROSADA(PI ACTUAL):
LC=2(PI)R
     =2X3.1416407865X0.4999923395284071
     =3.1415926536

CALCULO DE LA CIRCUNFERENCIA B EN NEGRO(PI GEOMETRICO EGIPCIO):
LC=2(PI)R
     =2X3.1416407865X0.50000000000000000
     =3.1416407865

8)EL PERIMETRO DEL CUADRADO NARANJA ES IGUAL AL PERIMETRO HEXAGONO
NARANJA.

9)DOS TERCIOS DEL LADO DEL HEXAGONO IRREGULAR ROJO ES IGUAL A LADO DEL HEXAGONO NARANJA.

10)LA CIRCUNFERENCIA B EN NEGRO MULTIPLICADA POR LADO HEXAGONO NARANJA DIVIDIDO POR EL PERIMETRO DEL CUADRADO NARANJA ES IGUAL A
1 CODO

1 CODO= CIRCUNF. B   X  LADO HEXAG. NARANJA  / PERIMETRO CUADR. NARANJA
              = 3.1416407865  X  0.5241009185066667  /  3.14460551104
              =0.52360679775

11) 1 CODO ES IGUAL A LA CIRCUNFERENCIA A DIVIDIDA EN CINCO PARTES IGUALES.

1 CODO=CIRCUNFERENCIA A / 5
              =2.61803398875/5
              =0.52360679775

12) 1 CODO ES IGUAL A LA CIRCUNFERENCIA B EN NEGRO DIVIDIDA EN SEIS PARTES
IGUALES.

1 CODO=CIRCUNFERENCIA B / 6
              =3.1416407865/6
              =0.52360679775

13)LAS MEDIDAS DEL TRIANGULO ROJO POR EL FACTOR DE PROLONGACION
180 PHI CORRESPONDEN CON LAS MEDIDAS DE LOS LADOS DE LA BASE, LA ALTURA Y LOS APOTEMAS DE LA PIRAMIDE DE KEOPS:

ALTURA=180XPHIX0.5=90 PHI=145.6230589875
LADO=180XPHIX0.78615137776=228.9635369132978
APOTEMA=180XPHIXHIPOTENUSA=185.235392454

CALCULO DE LA HIPOTENUSA:
2 HIPOTENUSA=RAIZ2 DE 1 E2 +0.78615137776 E2
   HIPOTENUSA=0.63600982475

14)EL GRAN HISTORIADOR HERODOTO DEJO ESCRITO QUE LE HABIAN CONTADO QUE LA PIRAMIDE DE KEOPS FUE CONSTRUIDA DE FORMA TAL QUE EL AREA DEL CUADRADO DE SU ALTURA FUERA IGUAL AL AREA DE UNA DE SUS CARAS.

AREA CARA=LADOXAPOTEMA/2
                       =21206.0753088

ALTURA E2=21206.0753088

15)EL NUMERO DE ORO

LADO BASE PIRAMIDE DE KEOPS=228.9635369132978
APOTEMA PIR. KEOPS=185.235392454
LADO BASE TRIANGULO ROJO=0.78615137776
HIPOTENUSA TRIANGULO ROJO=0.63600982475

PHIE2=(1/45)(APOTEMA PIR. KEOPS  X  HIPOTENUSA TRIANGULO ROJO)
          =2.6180339887

PHI= 2 X HIPOTENUSA TRIANGULO ROJO  /  LADO BASE TRIANGULO ROJO
      = 2 X APOTEMA PIR. KEOPS  /  LADO BASE PIRAMIDE DE KEOPS
      =  1.6180339887      
     

TEOREMA DE ANTONIO Y EL CODO EGIPCIO

ENUNCIADO:

TRIANGULO                                                                                     OBG
BASE TRIANGULO                                                                          BG
2/3 BASE TRIANGULO                                                                    KG
ALTURA TRIANGULO                                                                     OA
DOBLE ALTURA TRIANGULO                                                       MA
CIRCUNFERENCIA RADIO ALTURA                                            AA
PERIMETRO DEL CUADRADO DE LA BASE                              BGHIB

1 CODO=(KG)(AA)/(MA)(BGHIB)

EN TODO TRIANGULO SE PUEDEN TRAZAR TRES ALTURAS DESDE CADA UNO DE LOS LADOS  HASTA EL VERTICE OPUESTO ,INDEPENDIENTEMENTE DE LA ALTURA QUE SE ELIJA TRAZAR,SIEMPRE SERA CIERTO QUE DOS TERCIOS DE LA BASE DESDE DONDE SE TRAZO LA ALTURA MULTIPLICADA POR CIRCUNFERENCIA RADIO ALTURA,DIVIDIDO POR EL VALOR RESULTANTE DE MULTIPLICAR EL DOBLE DE LA ALTURA POR EL PERIMETRO DEL CUADRADO DE LA BASE, ES UN CODO.

DEMOSTRACION:

1 CODO=(2/3)(BASE)(2)(PI)(A) /  (2)(A)(PERIMETRO DEL CUADRADO DE LA BASE)
1 CODO=(4/3)(BASE)(PI)(A) /  (2)(A)(4 BASE)
1 CODO=(4/24)PI
1 CODO=PI/6
1 CODO=3.1416407865/6
1 CODO=0.52360679775

LA PROPORCION DADA COMO CIRCUNFERENCIA RADIO ALTURA/DOBLE DE LA ALTURA ES  EQUIVALENTE A LA RELACION DE LA CIRCUNFERENCIA/2 RADIO,. IGUAL A PI.

LA PROPORCION 2/3 DE LA BASE/PERIMETRO DEL CUADRADO DE LA BASE ES EQUIVALENTE A LA RELACION DE 2/3 DEL LADO DE UN CUADRADO /PERIMETRO DEL CUADRADO,IGUAL A LA EXPRESION NUMERICA (2/3)/4=2/12=1/6

DANDO LUGAR A QUE AL MULTIPLICAR ENTRE SI LAS PROPORCIONES DEL TEOREMA SE OBTENGA LA MEDIDA DEL CODO



QUEDANDO DEMOSTRADO EL TEOREMA,DEL CUAL ADICIONALMENTE SE DEDUCE LO SIGUIENTE:

1)     1 CODO=(KG)(AA)/(MA)(BGHIB)
         PI/6=(KG)(2)(PI)(OA)/(2)(OA)(BGHIB)
         (BGHIB)=(6)(KG)

IGUALDAD QUE DA LUGAR A CONCLUIR LO SIGUIENTE:

EL PERIMETRO DEL HEXAGONO CUYO LADO ES KG ES IGUAL AL DEL CUADRADO DE LA BASE DEL TRIANGULO OBG

2)CUANDO EL TRIANGULO ES DE CONSTRUCCION AUREA, ISOCELES Y SU ALTURA ES 1/2 , LA CIRCUNFERENCIA DE SU ALTURA ES IGUAL A PI,  AL DIVIDIRLA EN 6 PARTES IGUALES, LA MEDIDA DE CADA ARCO QUE TOMA FORMA TIENE POR LONGITUD           1  CODO,ADICIONALMENTE LA CUERDA QUE SUBTIENDE EL ARCO ES IGUAL A 0.5

ALTURA TRIANGULO ISOCELES=OA=0.500000000000
CUERDA DEL ARCO= 0.5000000000000
ARCO=1 CODO=0.52360679775
PERIMETRO HEXAGONO INSCRITO= 3.0000000000
CIRCUNFERENCIA=3.1416407865

ESQUEMA BASICO PARA CALCULAR PI

SI   LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA AL HEXAGONO VERDE MIDE 30, CUAL ES SU RADIO?

1)SI LC AA =30     RADIO=OA=?

2)DEL TEOREMA DEL CODO,EL HEXAGONO Y EL PENTAGONO LO SIGUIENTE:
PERIM. CUADR. DE LADO GB / LC AA=(20/6)(1/RAIZ2 DE PHI)(1/PHIE2)
                                                                     =1.000943686680289

3)PERIM. CUADR. DE LADO GB=(30)(1.000943686680289)
                                                         =30.02831060040867

4)BASE DEL TRIANGULO ISOCELES = GB
                                                                   =(30)(1.000943686680289)(1/4)
                                                                   =7.507077650102168

5)BASE DEL TRIANGULO RECTANGULO=BA
                                                                          =(30)(1.000943686680289)(1/4)(1/2)
                                                                          =3.753538825051084

6)ALTURA  TRIANG. ISOCELES=OA
                                                         =(30)(1.000943686680289)(1/4)(1/2)(RAIZ2 DE PHI)
                                                         =(30)(1.000943686680289)(1/4)(1/2)(1.2720196495)
                                                         =4.774575140626121
                                                         = RADIO LC AA

7) PI=LC AA  /  2R
    PI=      30   /  (2)(4.774575140626121)
    PI=   3.141640786500


                                                   

TEOREMA: CONSTRUCCION DE UNA CIRCUNFERENCIA A PARTIR DE UN SEGMENTO

SE TIENE UN SEGMENTO DE LONGITUD X(PI),SE MULTIPLICA POR LA PROPORCION PERIMETRO DEL CUADRADO/CIRCUNFERENCIA=(20/6)(1/RAIZ2 DE PHI)(1/PHIE2),SE DIVIDE POR 4, SE DIBUJA EL SEGMENTO RESULTANTE COMO LA BASE DE UN CUADRADO Y DE UN TRIANGULO ISOCELES,DONDE LA ALTURA DEL TRIANGULO SERA EL SEGMENTO RESULTANTE DE MULTIPLICAR LA MITAD DE LA BASE POR LA RAIZ2 DE PHI Y LA CIRCUNFERENCIA DEL RADIO DE LA ALTURA DEL TRIANGULO SERA IGUAL EN LONGITUD A LA DEL SEGMENTO X(PI).

DEMOSTRACION:

1)LONGITUD SEGMENTO =X(PI)=(X)(6/5)(PHIE2)

2)BASE CUADRADO= BASE DEL TRIANGULO
                                     = (LONG. SEGM.)(PERIMETRO CUADRADO/CIRCUNF.)(1/4)
                                     =(X)(6/5)(PHIE2)(20/6)(1/RAIZ2 DE PHI)(1/PHIE2)(1/4)
                                     =(X)(1/RAIZ2 DE PHI)

3)ALTURA=(1/2)(X)(1/RAIZ2 DE PHI)(RAIZ2 DE PHI)
                   =(1/2)(X)
                   =RADIO CIRCUNFERENCIA

4)LC=2(PI)R=(2)(PI)(1/2)(X)=X(PI)=(X)(6/5)(PHIE2)

5)LA CIRCUNFERENCIA DE IGUAL LONGITUD AL SEGMENTO X(PI) TENDRA POR
   RADIO (1/2)(X)

6)EJEMPLO:
 SUPONGAMOS QUE EL SEGMENTO MIDE 20
POR LO CUAL LO SIGUIENTE:
X(PI)=20
ENTONCES X=20/PI
RADIO CIRCUNF.=(1/2)(X)
                                =(1/2)(20/PI)
                                =10/PI
                                =10/3.1416407865
                                =3.183050093750748

7)VERIFICACION:
LC=2(PI)R=(2)(3.1416407865)(3.183050093750748)=20

QUEDANDO DEMOSTRADO EL TEOREMA.

TEOREMA DEL CODO EL HEXAGONO Y EL PENTAGONO (PRIMERA PARTE)

1) MEDICIONES DEL HEXAGONO

OA  =1/2                                                                                                        0.50000000000000000
AB =(1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)                                                                        0.39307568888
OB =(1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)(PHI)                                                               0.63600982475
GB =1/RAIZ2 DE PHI                                                                                   0.78615137776
BD =1                                                                                                             1.00000000000000000
BE =(1/RAIZ2 DE PHI)(PHI)=RAIZ2 DE PHI                                            1.27201964950
ALTURA TRIANGULO BCD =RAIZ2 DE (1/PHI  -1/4)                            0.303329024637379
OC =RAIZ2 DE (1/PHI  -1/4) +(1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)                              0.999733738162
ARCO = 1 CODO =(1/5)(PHIE2) =PI/6                                                        0.52360679775
LC = 6 CODOS = PI                                                                                      3.141640786500
AREA RECTANGULO EGBD =(1)(1/RAIZ2 DE PHI)                              0.78615137776
AREA DEL CIRCULO=(6/5)(PHIE2)(1/2)E2                                              0.785410196625
DIFERENCIA DE AREAS: RECTANGULO -CIRCULO                           0.000741181135
PERIMETRO DEL CUADRADO GB =(4)(1/RAIZ2  DE PHI)                  3.144605511064474
DIFERENCIA DE PERIMETROS: CUADRADO GB  -LC                        0.002964724564474
PERIMETRO DEL TRIANGULO OBG                                                       2.05817102726
PERIMETRO DEL HEXAGONO BCDEFG =6/RAIZ2 DE PHI                 4.7169082666
AREA DEL TRIANGULO OBG =(1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)(1/2)                 0.19653784444
AREA DEL TRIANGULO OEG =(1)(1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)(1/2)             0.19653784444
AREA DEL TRIANGULO BCD =(1)(RAIZ2 DE (1/PHI -1/4)(1/2)            0.30332902463
AREA DEL HEXAGONO:                                                                            1.39280942703
+ 2(AREA DEL TRIANGULO OBG)=  +  (2)(0.19653784444)
+ 2(AREA DEL TRIANGULO OEG)=  +  (2)(0.19653784444)
+ 2(AREA DEL TRIANGULO BCD)=  +  (2)(0.30332902463)                      

OBSERVACIONES:

EL AREA DEL CIRCULO DE RADIO LA ALTURA DEL TRIANGULO OBG ES CASI IGUAL AL AREA DEL RECTANGULO EGBD DE BASE COINCIDENTE CON LA DEL TRIANGULO Y DE ALTURA DEL DOBLE DEL RADIO DEL CIRCULO.

LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA ES CASI IGUAL AL PERIMETRO DEL CUADRADO DE LA BASE DEL TRIANGULO OBG

RELACION ENTRE PERIMETRO DE LA BASE DE UNA PIRAMIDE AUREA Y LA CIRCUNFERENCIA DE SU ALTURA:
LADO=SEGMENTO GB=1/RAIZ2 DE PHI
PERIMETRO DE LA BASE=4(SEGMENTO GB)=4/RAIZ2 DE PHI
ALTURA=SEGMENTO OA= 1/2
CIRCUNFERENCIA DE SU ALTURA=2(PI)(SEGMENTO OA)
                                                                =2(6/5)(PHIE2)(1/2)
                                                                =(6/5)(PHIE2)
PERIMETRO/CIRCUNFERENCIA=(4/RAIZ2 DE PHI) /(6/5)(PHIE2)
                                                          =(20/6)(1/RAIZ2 DE PHI)(1/PHIE2)
                                                          =1.000943686680289
           
PERIMETRO DEL CUADRADO DEL SEGMENTO GB/LC DE RADIO SEGMENTO OA
=           3.144605511064474/3.141640786500
=           1.000943686680289

EL CODO SE PUEDE CALCULAR A PARTIR DE LA PROPORCION EXISTENTE ENTRE EL PERIMETRO DE LA BASE DE UNA PIRAMIDE AUREA CON RESPECTO A LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO SU ALTURA.
1 CODO=(4/6)(LADO BASE PIR. AUREA)/(PERIMETRO/CIRCUNFERENCIA)
1 CODO=(4/6)(LADO BASE PIR. AUREA)/((20/6)(1/RAIZ2 DE PHI)(1/PHIE2))
LADO BASE PIR. AUREA=SEGMENTO GB=0.78615137776
1 CODO=(4/6)(0.78615137776)/1.000943686680289
1 CODO=0.52360679775

DEL TRIANGULO OBG POR UN FACTOR DE PROLONGACION DE 180 VECES PHI SE PUEDEN CALCULAR LAS MEDIDAS DE LA PIRAMIDE DE KEOPS.
ALTURA=(SEGMENTO OA)(180PHI)=0.5X180XPHI=145.6230589875
LADO BASE=(SEGMENTO GB)(180PHI)=0.78615137776X180XPHI=228.9635369132978
APOTEMA=(SEGMENTO OB)(180PHI)=0.63600982475X180XPHI=185.2353924523976

OBTENCION DEL CODO A PARTIR DEL LADO DE LA PIRAMIDE DE KEOPS.
1 CODO=(4/6)(LADO PIR. KEOPS)/((20/6)(1/RAIZ2 DE PHI)(1/PHIE2)(180)(PHI))
1 CODO=(4/6)(228.9635369132978)/(1.000943686680289)(180)(1.61803398875)
1 CODO=0.52360679775

EL CODO MULTIPLICADO POR 6,POR EL FACTOR DE PROLONGACION 180PHI DETERMINA LA CIRCUNFERENCIA CUYO RADIO ES LA ALTURA DE LA PIRAMIDE DE KEOPS.
CODOX6X180XPHI=LC DE RADIO IGUAL 145.6230589875
0.52360679775X6X180X1.61803398875=2X3.141640786500X145.6230589875
                                  914.9906831400508=914.9906831400508                                        
                                   

TEOREMA DEL CODO EL HEXAGONO Y EL PENTAGONO (SEGUNDA PARTE)

HEXAGONO AUREO REFERIDO:  CORRESPONDE CON AQUEL EN DONDE ESTA INSCRITA LA CIRCUNFERENCIA.

RADIO CIRCUNFERENCIA:OA"

TRIANGULO AUREO REFERIDO:
RADIO=ALTURA=OA"
               BASE=A"B"
               HIPOTENUSA=OB"

CUERDA REFERIDA:
2 VECES LA BASE
2 VECES A"B"
LA CUERDA ES MAYOR QUE EL ARCO
LA CUERDA ES TANGENTE AL ARCO
LA CUERDA ES EXTERNA AL ARCO
LA CUERDA ES UN LADO DEL HEXAGONO REFERIDO

1 ARCO =1 CODO =(1/5)(PHIE2) =0.52360679775

EL RECORRIDO DE 1 ARCO ES DECIR DE 1 CODO ABARCA:360 GRADOS/6
                                                                                                               = 60 GRADOS

BASE TRIANGULO RECTANGULO X 2 = CUERDA EXTERNA DEL ARCO
                                                                      =LADO DEL HEXAGONO AUREO
                                                                      =(1/RAIZ2 DE PHI)
                                                                      =0.78615137776

PERIMETRO DEL HEXAGONO AUREO =6 CUERDAS EXTERNAS
                                                                       =6 LADOS
                                                                       =6/RAIZ2 DE PHI
                                                                       =4.7169082666

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA AUREA=6 ARCOS
                                                                                    =6 CODOS
                                                                                    =(6/5)(PHIE2)
                                                                                    =(360)( 0.52360679775/60 )
                                                                                    =3.141640786500
                                                                                    =PI

MEDIDAS DEL TRIANGULO AUREO:
ALTURA=0.50000000000000
BASE=0.39307568888
HIPOTENUSA=0.63600982475

RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA=ALTURA
                                                             =1/2
                                                             =0.50000000000000

POR LO CUAL HA DE SER CIERTO LO SIGUIENTE:

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA AUREA=2PI(R)
                                                                                    =2(3.141640786500)(1/2)
                                                                                    =3.141640786500

QUEDANDO DEMOSTRADO QUE PI=3.141640786500


ENUNCIADO:

EL CODO ES UN SEGMENTO RECTO DE LONGITUD DE (1/5)(PHIE2),TAMBIEN ES UN ARCO DE IGUAL MEDIDA, CON LONGITUD DE CUERDA DE 0.78615137776           ,MAYOR AL ARCO POR ESTAR ESE SEGMENTO POR SU PARTE EXTERIOR ,PUES AL SER LA CUERDA REFERIDA UNO DE LOS LADOS DEL HEXAGONO AUREO EN DONDE ESTA INSCRITA LA CIRCUNFERENCIA,NECESARIAMENTE LA LONGITUD  DE ESTA SERA MENOR A LA DEL HEXAGONO QUE LA CONTIENE, IGUALMENTE EL ARCO DE MENOR LONGITUD QUE SU CUERDA EXTERNA.
ASI QUE 6 DE ESTAS CUERDAS EXTERNAS MAYORES A SUS 6 ARCOS CONFORMAN EL PERIMETRO DEL HEXAGONO AUREO.
LA SUMATORIA DE LOS 6 ARCOS DETERMINAN LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA,IGUAL A (6/5)(PHIE2),CUYO RADIO IGUAL 1/2.
AL HACER UN RECORRIDO COMPLETO SOBRE ESTA CIRCUNFERENCIA LA DISTANCIA CUBIERTA ES DE 6 CODOS,IGUAL A PI.
EL CODO AQUI REFERIDO ABARCA 60 GRADOS DE GIRO,SU LONGITUD ES DE 0.52360679775, EL EQUIVALENTE A 0.00872677996    DE RECORRIDO POR GRADO.
POR LO CUAL SI LA DISTANCIA RECORRIDA ABARCA EL GIRO COMPLETO DE 360 GRADOS DE LA CIRCUNFERENCIA,LA MISMA SERA IGUAL A:
(6/5)(PHIE2)=(360)( 0.52360679775/60 )=3.141640786500


ECUACIONES DEL HEXAGONO AUREO POR CONSTRUCCION ALGEBRAICA DE UNA CIRCUNFERENCIA AUREA Y UN TRIANGULO AUREO:

CONSTRUCCION CIRCUNFERENCIA AUREA:

LC=2PI(R)
LC=(6/5)(PHIE2)
PI=(6/5)(PHIE2)
R=(LC/PI)(1/2)
R=1/2

CONSTRUCCION TRIANGULO AUREO:

RADIO=ALTURA=1/2                                                                   =0.500000000000000
                              =N(RAIZ2 DE PHI)       POR LO CUAL LO SIGUIENTE:
N(RAIZ2 DE PHI)=1/2
BASE=N=(1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)                                                =0.39307568888
HIPOTENUSA=N(PHI)
HIPOTENUSA=(1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)(PHI)                             =0.63600982475

VERIFICACION DE QUE EL TRIANGULO CONSTRUIDO ES RECTANGULO:

POR PITAGORAS LO SIGUIENTE:

ALTURA E2   =    HIPOTENUSA E2                              -   BASE E2
(1/2)E2            =    ((1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)(PHI))E2      -  ((1/2)(RAIZ2 DE PHI))E2
(1/2)E2            =    (((1/2)(1/RAIZ2 DE PHI))E2) ((PHIE2) -1)
(1/2)E2            =   ((1/2)E2) (1/PHI) (PHI)
(1/2)E2            =    (1/2)E2

QUEDANDO DEMOSTRADO QUE ES RECTANGULO.

CONSTRUCCION HEXAGONO AUREO:

LADO DEL HEXAGONO AUREO=CUERDA EXTERIOR=BASE X 2
                                                                                                  =(1/2)(1/RAIZ2 DE PHI)(2)
                                                                                                  =1/RAIZ2 DE PHI        
                                                                                                  =0.78615137776

PERIMETRO DEL HEXAGONO AUREO=6/RAIZ2 DE PHI
                                                                      =4.7169082666

NOTA:RAIZ2 DE PHI=1.2720196495

                                       

TEOREMA DEL CODO EL HEXAGONO Y EL PENTAGONO (TERCERA PARTE)

1 ARCO= 1 CODO= (1/5)(PHIE2)= 0.52360679775
EL RECORRIDO DE 1 ARCO ES DECIR DE 1 CODO ABARCA :360 GRADOS/5
                                                                                                              = 72 GRADOS
                                                                                           
BASE TRIANGULO RECTANGULO X2 = CUERDA DEL ARCO
                                                                     = LADO DEL PENTAGONO AUREO
                                                                     = (5/6)(1/PHI)
                                                                     = 0.5150283239582122

PERIMETRO PENTAGONO AUREO= 5 CUERDAS
                                                               = 5 LADOS
                                                               = (25/6)(1/PHI)
                                                               = 2.575141619791061

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA AUREA =5 ARCOS
                                                                                     =5 CODOS
                                                                                     =PHIE2
                                                                                     =(360)(0.0072723166354167)
                                                                                     =2.61803398875

P I  =   LONGITUD CIRCUNFERENCIA + 1 ARCO
      =   6 ARCOS
      =   6 CODOS
      =   (6/5)(PHIE2)
       :   ABARCA UN RECORRIDO DE 72 GRADOS X 6= 432 GRADOS
      =  (432)(0.0072723166354167)
      =  3.141640786500



MEDIDAS DEL TRIANGULO AUREO:
BASE=  0.2575141619791061
ALTURA=  0.3275630740619488
HIPOTENUSA=  5/12
                         =  0.4166666666666667

RADIO DE LA CIRCUNFERNCIA  = HIPOTENUSA
                                                             = 5/12
                                                             = 0.4166666666666667

POR LO CUAL HA DE SER CIERTO LO SIGUIENTE:

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA AUREA = 2PI(R)
                                                                                     =2(3.141640786500)(5/12)
                                                                                     =2.61803398875

QUEDANDO DEMOSTRADO QUE PI=3.141640786500.....
       


ENUNCIADO:

EL CODO ES UN SEGMENTO RECTO DE LONGITUD (1/5)(PHIE2),TAMBIEN ES UN ARCO DE IGUAL MEDIDA CON LONGITUD DE CUERDA (5/6)(1/PHI).
5 DE ESTAS CUERDAS CONFORMAN EL PERIMETRO DEL PENTAGONO AUREO DE LONGITUD (25/6)(1/PHI).
LA SUMATORIA DE LOS 5 ARCOS DETERMINA LA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA IGUAL A PHIE2,CUYO RADIO ES 5/12.
AL HACER UN RECORRIDO COMPLETO SOBRE ESTA CIRCUNFERENCIA MAS UN TRAMO ADICIONAL DE 1/5 LA DISTANCIA CUBIERTA ES DE 6 CODOS,IGUAL A PI.
EL CODO AQUI REFERIDO ABARCA 72 GRADOS DE GIRO Y TIENE LONGITUD DE
0.52360679775,EL EQUIVALENTE A 0.0072723166354167 DE RECORRIDO  POR GRADO,
POR LO CUAL SI LA DISTANCIA RECORRIDA ABARCA EL GIRO COMPLETO DE 360
GRADOS DE LA CIRCUNFERENCIA LA MISMA SERA IGUAL A PHIE2:
360 X 0.0072723166354167 = 2.61803398875
PERO SI ABARCA 432 GRADOS DE GIRO LA DISTANCIA RECORRIDA SERA IGUAL A PI:
(432 X 0.0072723166354167 = 3.141640786500

ECUACIONES  DEL PENTAGONO AUREO POR CONSTRUCCION ALGEBRAICA DE UNA CIRCUNFERENCIA AUREA Y UN TRIANGULO AUREO:

CONSTRUCCION CIRCUNFERENCIA AUREA:

LC=2PI(R)
LC=PHIE2
PI=(6/5)(PHIE2)
R=(LC/PI)(1/2)
R=(PHIE2/(6/5)(PHIE2))(1/2)
R=(5/6)(1/2)
R=5/12

CONSTRUCCION TRIANGULO AUREO:

RADIO=HIPOTENUSA TRIANGULO AUREO=(5/6)(1/2)                 =0.4166666666666667
                                                                               =N(PHI)    POR LO CUAL LO SIGUIENTE:
N(PHI)=(5/6)(1/2)
BASE=N=(5/6)(1/2)(1/PHI)                                  =0.2575141619791061
ALTURA=N(RAIZ2 DE PHI)
ALTURA=(5/6)(1/2)(1/PHI)(RAIZ2 DE PHI)      =0.3275630740619488

VERIFICACION DE QUE EL TRIANGULO CONSTRUIDO ES RECTANGULO:

POR PITAGORAS LO SIGUIENTE:

BASE E2                     +  ALTURA E2                                           =  HIPOTENUSA E2

((5/6)(1/2)(1/PHI))E2  + ((5/6)(1/2)(1/PHI)(RAIZ2 DE PHI))E2  =  ((5/6)(1/2))E2
(((5/6)(1/2)(1/PHI))E2) (1 +(RAIZ2 DE PHI)E2)                          =  ((5/6)(1/2))E2
(((5/6)(1/2))E2)  (1/PHIE2)    (1+PHI)                                            =  ((5/6)(1/2))E2
(((5/6)(1/2))E2)  (1/PHIE2)    (PHIE2)                                            =  ((5/6)(1/2))E2
 ((5/6)(1/2))E2                                                                                  =  ((5/6)(1/2))E2

QUEDANDO DEMOSTRADO QUE ES RECTANGULO


CONSTRUCCION PENTAGONO AUREO:

LADO DEL PENTAGONO AUREO= CUERDA=BASE X 2
                                                                                =(5/6)(1/2)(1/PHI)(2)
                                                                                =(5/6)(1/PHI)
                                                                                =0.5150283239582122

PERIMETRO DEL PENTAGONO AUREO=(25/6)(1/PHI)
                                                                       =2.575141619791061

NOTA: RAIZ2 DE PHI = 1.2720196495
   

TEOREMA DEL CUBO,DEL CUADRADO Y DEL NUMERO PHI (DIAGRAMAS)

TEOREMA DEL CUBO,DEL CUADRADO Y DEL NUMERO PHI

ENUNCIADO:

EL LADO DEL CUBO CUYO VOLUMEN ES 5E3,
MAS EL LADO DEL CUADRADO CUYA AREA ES IGUAL
AL VOLUMEN DE ESE CUBO,
ES IGUAL A 10 VECES EL NUMERO PHI.

DEMOSTRACION:

SI X =LADO DEL CUBO      ENTONCES LO SIGUIENTE:
VOLUMEN DEL CUBO=XE3=5E3    POR LO CUAL  X=5

SI Y=LADO DEL CUADRADO   ENTONCES LO SIGUIENTE:
YE2  =AREA DEL CUADRADO
         =VOLUMEN DEL CUBO
         =XE3    POR LO CUAL  Y=RAIZ2 DE XE3
         =5E3     POR LO CUAL  Y=RAIZ2 DE 5E3

DEL ENUNCIADO DEL TEOREMA SE DEBERA COMPROBAR LA SIGUIENTE IGUALDAD:

LADO DEL CUBO     + LADO DEL CUADRADO  =10(PHI)
                X                  +                  Y                          =10(PHI)
                X                  +      RAIZ2 DE XE3               =10(PHI)
                5                   +      RAIZ2 DE 5E3                =10(PHI)
                5                   +   5(RAIZ2 DE 5)                   =10(RAIZ2 DE 5   +1)/2
                          5(RAIZ2 DE 5  +1 )                            =  5(RAIZ2 DE 5   +1)

QUEDANDO DEMOSTRADO EL ENUNCIADO DEL TEOREMA

POR LO CUAL SE PUEDE ASEGURAR CON TOTAL CERTEZA LO SIGUIENTE:

LADO DEL CUBO=5
LADO DEL CUADRADO=RAIZ2 DE 5E3 =11.180339....................................
10(PHI)= LADO DEL CUBO + LADO DEL CUADRADO
             =               5                 +     11.180339.......................................................
             =                                         16.180339........................................................

NOTAS ADICIONALES:

EL PRESENTE TEOREMA ADEMAS DE SER UN ELEMENTO VERIFICADOR DE PHI, TAMBIEN LOS ES DE PI Y DEL CODO EGIPCIO.

1)DE PI=(6/5)(PHIE2) CON EL CUAL SE CALCULO EL AREA DEL CIRCULO,EL CUAL AL SER DIVIDIDO POR EL AREA DE LAS 6 CARAS DEL CUBO O EL AREA DE 6 TRIANGULOS,ARROJA COMO RESULTADO CONCLUYENTE PHIE2.

2)INFORMACION SUMINISTRADA POR FERNANDO GUEMES:
DEL CODO EGIPCIO PUES AL SUMAR UNA CUALQUIERA DE LAS DIAGONALES DE LAS CARAS DEL CUBO=RAIZ2 DE 50 CON LA DIAGONAL DEL CUADRADO=RAIZ2 DE 250 ;
ELEVAR DICHA SUMA AL CUADRADO ; Y DIVIDIR ESE RESULTADO POR 1000 SE OBTIENE EL CODO EGIPCIO.

CODO EGIPCIO=((RAIZ2 DE 50 +RAIZ2 DE 250)E2)/1000
                            =((7.0710678119+15.8113843068)E2)/1000
                            =0.52360679775

EL CUAL NO ESTA DE MAS RECORDAR QUE TAMBIEN ES IGUAL A PHIE2/5

POR LO CUAL TAMBIEN  HA DE SER CIERTO LO SIGUIENTE:

CODO EGIPCIO=AREA DEL CIRCULO/AREA DE 30 TRIANGULOS
                            =(6)(5E2)(PHIE2/(30)(5E2)
                            =PHIE2/5
                            =0.52360679775

SIN EMBARGO TAMBIEN SE QUE EL VALOR AQUI VERIFICADO DE PI  TENDRA  EL MISMO DESTINO EN MANOS DE LOS MATEMATICOS QUE EL QUE TUVO EL CODO EN MANOS DE LOS ARQUELOGOS QUIENES ATRIBUYEN ESA MEDIDA A LA MEDIDA DEL CODO DE UN FARAON,PERO NUNCA HAN DICHO DE CUAL.
PRESUNTOS SABIOS SON TODOS:LOS DE LAS MATEMATICAS SABIOS SON EN ARQUEOLOGIA,LOS DE LA ARQUEOLOGIA EN MATEMATICA.
DESAFORTUNADAMENTE ESE ES EL NIVEL DE SUS CONOCIMIENTOS.
TAL PARA CUAL,UNO PARA TODOS Y TODOS PARA UNO.

TEOREMA DE LOS TRIANGULOS RECTANGULOS

EL TEOREMA DE PITAGORAS ENUNCIADO BAJO LA ECUACION AE2 +BE2 =CE2 DONDE
A ES LA ALTURA DEL TRIANGULO RECTANGULO,B ES SU BASE Y C SU HIPOTENUSA,
IGUALMENTE PUEDE TENER EXPRESION EN FUNCION DE DOS VARIABLES(N,X) Y EL NUMERO 1,DONDE SI N ES LA BASE DEL TRIANGULO RECTANGULO Y N(X) SU ALTURA SE DEMOSTRARA QUE SU HIPOTENUSA NECESARIAMENTE ES
 N(RAIZ2 DE(XE2+1))

1)TRIANGULO RECTANGULO DE BASE 1
BASE=N=1
ALTURA=N(X)=X
HIPOTENUSA=N(RAIZ2 DE (XE2 +1))=RAIZ2 DE (XE2 +1)

2)TRIANGULO AUREO DE KEPLER (BASE1)
BASE=N=1
ALTURA=N(X)=X=RAIZ2 DE PHI
HIPOTENUSA=N(RAIZ2 DE (XE2 +1))=RAIZ2 DE ((RAIZ2 DE PHI)E2 +1)
                                                                   =RAIZ2 DE (PHI +1)
                                                                   =RAIZ2 DE PHIE2
                                                                   =PHI

3)TRIANGULO RECTANGULO DE BASE N

BASE=N
ALTURA=N(X)
HIPOTENUSA=N(RAIZ2 DE (XE2 +1))

DEMOSTRACION POR PITAGORAS:

(N(X))E2 +NE2=(N(RAIZ2 DE (XE2 +1))E2
                          =NE2 +(XE2 +1)
                          =NE2(XE2) +NE2
                          =(N(X))E2 +NE2

4)TRIANGULO AUREO DE BASE N

BASE=N
ALTURA=N(X)=N(RAIZ2 DE PHI)
HIPOTENUSA=N(RAIZ2 DE ((RAIZ2 DE PHI)E2 +1))
                         =N(RAIZ2 DE (PHI +1))
                         =N(RAIZ2 DE PHIE2)
                         =N(PHI)

5)TRIANGULO AUREO DE KEOPS

BASE APOTEMA=N=(90)(RAIZ2 DE PHI)=114.48176
ALTURA=N(X)=N(RAIZ2 DE PHI)=(90)(RAIZ2 DE PHI)(RAIZ2 DE PHI)=90(PHI)=145.62305
APOTEMA=(90)(RAIZ2 DE PHI)(PHI)=185.23536

PREGUNTAS Y RESPUESTAS SOBRE PIRAMIDE AUREA Y PIRAMIDE DE KEOPS

A)ESTA PIRAMIDE AUREA,CON EXACTAMENTE ESTO DE 1 Y PHI, LO HABEIS DESCUBIERTO VOSOTROS O ES ALGO GENERICO Y CONOCIDO?

INTENTARE RESUMIRTE EL TEMA DE LA PIRAMIDE AUREA:
ANTECEDENTES:
DICEN QUE EL FAMOSO MATEMATICO Y ASTRONOMO KEPLER VIVIO OBSESIONADO CON EL TRIANGULO RECTANGULO QUE LLEVA SU APELLIDO:EL TRIANGULO DE KEPLER : CUYAS MEDIDAS DE SUS DOS CATETOS SON LAS SIGIENTES:
ALTURA=RAIZ2 DE PHI,  BASE(BASE APOTEMA)=1,SIENDO LA MEDIDA DE LA HIPOTENUSA(APOTEMA)=PHI,
KEPLER VIVIO POR ALLA EN LOS 1500S O 1600S, Y CURIOSAMENTE UNA BUENA PARTE DE LA VIDA DE KEPLER TRANSCURRIO EN LOS TRIBUNALES TRATANDO DE SALVAGUARDAR LA VIDA DE SU MADRE, QUIEN HABIA SIDO ACUSADA DE BRUJERIA.
ACTUALMENTE SE DICE QUE ALGUNAS MEDIDAS O PROPORCIONES DE LAS MEDIDAS DE LA PIRAMIDE DE KEOPS DEMUESTRAN QUE SUS CONSTRUCTORES CONOCIAN EL NUMERO PHI,PI ,INCLUSIVE LA VELOCIDAD DE LA LUZ.
INICIALMENTE PENSABA QUE EL PLANO DE LA PIRAMIDE DE KEOPS HABIA SIDO CALCULADO EN BASE A UNA ECUACION QUE INCLUIA ENTRE SUS MULTIPLES VARIABLES LA VELOCIDAD DE LA LUZ ,EL CODO DE NIPPUR , OTRAS MEDIDAS DE SU PIRAMIDON Y OTRAS MEDIDAS QUE EN ESTE MOMENTO NO RECUERDO,SIN EMBARGO EN LA MEDIDA QUE TUVE LA OPORTUNIDAD DE ESTUDIAR EL TRABAJO DE GUEMES SOBRE KEOPS ME DI CUENTA QUE LAS MEDIDAS DEL PLANO DE KEOPS QUE EL PROPONIA ERAN LAS CORRECTAS,TEMA EL CUAL ESTA EN LA SECCION DE MI BLOG:DISCREPANCIAS Y COINCIDENCIAS.
GUEMES Y YO NO COMPARTIMOS LA CREENCIA AMPLIAMENTE DIFUNDIDA EN INTERNET EN RELACION A QUE LOS CONSTRUCTORES DE LAS PIRAMIDES DE GUIZA CONOCIAN EL NUMERO PHI HASTA UNOS POCOS DECIMALES,Y ASEGURAMOS EXACTAMENTE LO CONTRARIO,QUE LO CONOCIAN MEJOR QUE NOSOTROS.
RESPECTO AL PI DE LA PIRAMIDE DE KEOPS ESTAMOS AUN MAS DISTANTES DE QUIENES AFIRMAN QUE PI DE KEOPS ES UNA BURDA APROXIMACION DEL PI QUE NOS HAN ENSEÑADO,PUES PENSAMOS QUE EL PI DE KEOPS ES EL VERDADERO,EL CUAL HEMOS CALCULADO CADA UNO POR DIFERENTES METODOS COMO EL SIGUIENTE VALOR: PI=(6/5)(PHIE2)  .
LA RAZON DE LAS DIFERENCIAS AL ARMAR EL PLANO DE LA PIRAMIDE DE KEOPS RADICA PRINCIPALMENTE EN QUE NOSOTROS LA ARMAMOS RESPETANDO LO QUE DIJO HERODOTO QUE LE CONTARON SOBRE LA CONSTRUCCION DE LA PIRAMIDE.
AHORA VOY A PONERTE EL EJEMPLO DE COMO NO SE DEBE ELABORAR UN PLANO DE UNA PIRAMIDE AUREA:
ACTUALMENTE ESTA AMPLIAMENTE DIFUNDIDO EN INTERNET LAS SIGUIENTES MEDIDAS DE LA PIRAMIDE DE KEOPS,DICIENDO TAMBIEN QUE LAS MISMAS DETERMINAN QUE LA PIRAMIDE ES AUREA:
ALTURA=280 CODOS
LADO BASE=440 CODOS
SIN EMBARGO ES FACIL PROBAR QUE ESA PROPUESTA CONSTRUCTIVA NO CORRESPONDE AL DE UNA PIRAMIDE AUREA.
PRIMERO PORQUE NO CUMPLE CON LO QUE LE CONTARON A HERODOTO:
FUE CONSTRUIDA DE FORMA TAL QUE EL AREA DEL  CUADRADO DE SU ALTURA FUERA IGUAL AL AREA DE UNA DE SUS CARAS
PERO AUN MAS IMPORTANTE OBSERVA LO SIGUIENTE QUE PIENSO YO QUE ESTA ENTRELAZADO CON EL TEMA QUE TU ENSEÑAS.
TU PREGUNTA ME HA HECHO PENSAR BASTANTE,PERMITIENDOME DESCUBRIR LA
ESENCIA MISMA DE LA PIRAMIDE AUREA Y DE CUALQUIER PIRAMIDE ,POR LO CUAL ME PERMITO HACER LA SIGUIENTE CONJETURA: A PARTIR DE UNA MEDIDA DE UNA PIRAMIDE AUREA QUE SE TENGA, SE PUEDEN HALLAR LAS SIGUIENTES.

1)SI ALTURA=280   ENTONCES LO SIGUIENTE:
BASE APOTEMA=280/RAIZ2 DE PHI
                               =280/1.2720196
                               =220.12239
LADO BASE=BASE APOTEMA +BASE APOTEMA=440.24478
APOTEMA=(BASE APOTEMA)(PHI)=(220.12239)(1.6180339)=356.16548

2)SI LADO=440 ENTONCES LO SIGUIENTE:
BASE APOTEMA=LADO/2 =440/2 =220
APOTEMA=(BASE APOTEMA)(PHI)=(220)(1.6180339)=355.96745
ALTURA=(BASE APOTEMA)(RAIZ2 DE PHI)=(220)(1.2720196)=279.84431

3)RESULTA EVIDENTE QUE LAS MEDIDAS DE LA PIRAMIDE NO COINCIDEN AL CALCULARSE A PARTIR DE LA ALTURA Y AL CALCULARSE A PARTIR DE LADO DE LA BASE.  POR LO TANTO LAS MDIDAS DEL PLANO PROPUESTO LLEVAN A CONSTRUIR UNA PIRAMIDE QUE NO ES AUREA.

4)AHORA TOMEMOS LAS MISMAS MEDIDAS EN METROS DEL PLANO DE LA PIRAMIDE DE KEOPS PROPUESTAS POR GUEMES:
ALTURA=(90)(PHI)=145.62305
LADO =(90)(2)(PHI)/RAIZ2 DE PHI  =228.96352

5)SI ALTURA=(90)(PHI)=145.62305  ENTONCES LO SIGUIENTE:
BASE APOTEMA=(90)(PHI)/RAIZ2 DE PHI=(90)(1.6180339)/1.2720196 =114.48176
LADO=BASE APOTEMA +BASE APOTEMA=228.96352
APOTEMA=(BASE APOTEMA)(PHI)=(114.48176)(1.6180339)=185.23536

6)SI LADO=(90)(2)(PHI)/RAIZ2 DE PHI=228.96352 ENTONCES LO SIGUIENTE:
BASE APOTEMA=LADO/2=228.96352/2=114.48176
APOTEMA=(BASE APOTEMA)(PHI)=(114.48176)(1.6180339)=185.23536
ALTURA=(BASE APOTEMA)(RAIZ2 DE PHI)=(114.48176)(1.2720196)=145.62304

7)LAS MEDIDAS DEL PLANO DE LA PIRAMIDE DE KEOPS PROPUESTA POR GUEMES EVIDENTEMENTE SON AUREAS PUES NO HACE DIFERENCIA SI SE CALCULAN A PARTIR DE SU ALTURA O APARTIR DEL LADO DE SU BASE YA QUE EL CALCULO DE LAS MISMAS SIEMPRE COINCIDEN ENTRE SI.

EN EL PDF QUE TE ENVIE TITULADO,LA PIRAMIDE DE KEOPS FUE CONSTRUIDA A PARTIR DE PHI PARA DEMOSTRAR PI,EN LA ULTIMA PAGINA ESTA ESCRITO QUE KEOPS CUMPLE CON TRES ECUACIONES DE PI,TENIENDO LA PARTICULARIDAD KEOPS QUE ES LA UNICA PIRAMIDE AUREA QUE CUMPLE SIMULTANEAMENTE CON LAS ECUACIONES DE PI ALLI MENCIONADAS COMOP PRIMERA ,SEGUNDA Y TERCERA,YA QUE EL RESTO DE LAS PIRAMIDES AUREAS UNICAMENTE CUMPLEN CON LAS DOS ULTIMAS.

8)AUNQUE TENGA DEMORAS EN CONTESTARTE POR FALTA DE TIEMPO.TENLO POR SEGURO QUE DARE RESPUESTA A CUALQUIER NUEVA INQUIETUD MIENTRAS LA RESPUESTA ESTE A MI ALCANCE,APRECIO TU INTERES EN EL TEMA.
SALUDOS.



B)CONOCES ALGUNA FORMA DE RESOLVER LA ECUACION:  A+Y=(Y)(A)     ?
CASUALMENTE LA HE RESUELTO PARA UN SOLO NUMERO PERO ME GUSTARIA CONOCER SI HAY ALGUNA FORMA GENERAL O ES UNA ECUACION QUE NO TIENE
SOLUCION?

PARTAMOS DEL SIGUIENTE TRIANGULO RECTANGULO:
BASE=N
ALTURA=N(X)
HIPOTENUSA=N(RAIZ2 DE (XE2 +1))

POR PITAGORAS LO SIGUIENTE:

(N(X))E2  +  NE2   =(N(RAIZ2 DE (XE2 +1))E2
                                =(NE2)(XE2 +1)

POR ANALOGIA LO SIGUIENTE:

     A          +   Y      =( Y )(      A      )

ENTONCES LO SIGUIENTE:
A=(N(X))E2           =        (XE2 +1)
Y=NE2

ENTONCES LO SIGUIENTE:
N=X=RAIZ2 DE PHI

ENTONCES LO SIGUIENTE:
A=((RAIZ2 DE PHI)(RAIZ2 DE PHI))E2 = (RAIZ2 DE PHI)E2  +1
A=(RAIZ2 DE PHI)E4  =PHI +1
A=PHIE2  =PHI +1

ENTONCES LO SIGUIENTE:
YA QUE Y=NE2=(RAIZ2 DE PHI)E2=PHI

ASI QUE:
PHI +1 =PHIE2
PHIE2 + PHI =(PHI)(PHIE2)=PHIE3
PHI+PHI+1   =PHIE3

ASI QUE LA ECUACION A+Y=(Y)(A)
TIENE  SOLUCION DENTRO DEL AMBITO DEL NUMERO PHI Y DEL NUMERO 1
ES DECIR SE PUEDE SOLUCIONAR A PARTIR EXCLUSIVAMENTE DE PHI Y PHIE2 O
A PARTIR DE PHI Y PHI+1

ASI QUE LA ECUACION A+Y=(Y)(A)
ES UNA DE LAS ECUACIONES DETERMINANTES DE PHI Y DEL NUMERO 1